基本介紹

《九章算術(shù)》是中國(guó)古代張蒼、耿壽昌所撰寫(xiě)的一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著。是《算經(jīng)十書(shū)》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右。其作者已不可考。一般認(rèn)為它是經(jīng)歷代各家的增補(bǔ)修訂，而逐漸成為現(xiàn)今定本的，西漢的張蒼、耿壽昌曾經(jīng)做過(guò)增補(bǔ)和整理，其時(shí)大體已成定本。最后成書(shū)最遲在東漢前期，現(xiàn)今流傳的大多是在三國(guó)時(shí)期魏元帝景元四年（263年），劉徽為《九章》所作的注本。

《九章算術(shù)》內(nèi)容十分豐富，全書(shū)總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就。同時(shí)，《九章算術(shù)》在數(shù)學(xué)上還有其獨(dú)到的成就，不僅最早提到分?jǐn)?shù)問(wèn)題，也首先記錄了盈不足等問(wèn)題，《方程》章還在世界數(shù)學(xué)史上首次闡述了負(fù)數(shù)及其加減運(yùn)算法則。它是一本綜合性的歷史著作，是當(dāng)時(shí)世界上最簡(jiǎn)練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系。

2020年4月，列入《教育部基礎(chǔ)教育課程教材發(fā)展中心中小學(xué)生閱讀指導(dǎo)目錄（2020年版）》初中段。

內(nèi)容介紹

主要內(nèi)容

《九章算術(shù)》的內(nèi)容十分豐富，全書(shū)采用問(wèn)題集的形式，收有246個(gè)與生產(chǎn)、生活實(shí)踐有聯(lián)系的應(yīng)用問(wèn)題，其中每道題有問(wèn)（題目）、答（答案）、術(shù)（解題的步驟，但沒(méi)有證明），有的是一題一術(shù)，有的是多題一術(shù)或一題多術(shù)。這些問(wèn)題依照性質(zhì)和解法分別隸屬于方田、粟米、衰（音cui）分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程及勾股。共九章如下所示。原作有插圖，今傳本已只剩下正文了。

《九章算術(shù)》共收有246個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，分為九章。它們的主要內(nèi)容分別是：

第一章“方田”：主要講述了平面幾何圖形面積的計(jì)算方法。包括長(zhǎng)方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圓形、扇形、弓形、圓環(huán)這八種圖形面積的計(jì)算方法。另外還系統(tǒng)地講述了分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算法則，以及求分子分母最大公約數(shù)等方法。

第二章“粟米”：谷物糧食的按比例折換；提出比例算法，稱(chēng)為今有術(shù)；衰分章提出比例分配法則，稱(chēng)為衰分術(shù)；

第三章“衰分”：比例分配問(wèn)題。

第四章“少?gòu)V”：已知面積、體積，反求其一邊長(zhǎng)和徑長(zhǎng)等；介紹了開(kāi)平方、開(kāi)立方的方法。

第五章“商功”：土石工程、體積計(jì)算；除給出了各種立體體積公式外，還有工程分配方法；

第六章“均輸”：合理攤派賦稅；用衰分術(shù)解決賦役的合理負(fù)擔(dān)問(wèn)題。今有術(shù)、衰分術(shù)及其應(yīng)用方法，構(gòu)成了包括今天正、反比例、比例分配、復(fù)比例、連鎖比例在內(nèi)的整套比例理論。西方直到15世紀(jì)末以后才形成類(lèi)似的全套方法。

第七章“盈不足”：即雙設(shè)法問(wèn)題；提出了盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類(lèi)型的盈虧問(wèn)題，以及若干可以通過(guò)兩次假設(shè)化為盈不足問(wèn)題的一般問(wèn)題的解法。這也是處于世界領(lǐng)先地位的成果，傳到西方后，影響極大。

第八章“方程”：一次方程組問(wèn)題；采用分離系數(shù)的方法表示線性方程組，相當(dāng)于現(xiàn)在的矩陣；解線性方程組時(shí)使用的直除法，與矩陣的初等變換一致。這是世界上最早的完整的線性方程組的解法。在西方，直到17世紀(jì)才由萊布尼茲提出完整的線性方程的解法法則。這一章還引進(jìn)和使用了負(fù)數(shù)，并提出了正負(fù)術(shù)——正負(fù)數(shù)的加減法則，與現(xiàn)今代數(shù)中法則完全相同；解線性方程組時(shí)實(shí)際還施行了正負(fù)數(shù)的乘除法。這是世界數(shù)學(xué)史上一項(xiàng)重大的成就，第一次突破了正數(shù)的范圍，擴(kuò)展了數(shù)系。外國(guó)則到7世紀(jì)印度的婆羅摩及多才認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)。

第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各種問(wèn)題。其中的絕大多數(shù)內(nèi)容是與當(dāng)時(shí)的社會(huì)生活密切相關(guān)的。提出了勾股數(shù)問(wèn)題的通解公式：若a、b、c分別是勾股形的勾、股、弦，則，m>n。在西方，畢達(dá)哥拉斯、歐幾里得等僅得到了這個(gè)公式的幾種特殊情況，直到3世紀(jì)的丟番圖才取得相近的結(jié)果，這已比《九章算術(shù)》晚約3個(gè)世紀(jì)了。勾股章還有些內(nèi)容，在西方卻還是近代的事。例如勾股章最后一題給出的一組公式，在國(guó)外到19世紀(jì)末才由美國(guó)的數(shù)論學(xué)家迪克森得出。

主要特點(diǎn)

《九章算術(shù)》確定了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的框架，以計(jì)算為中心的特點(diǎn)，密切聯(lián)系實(shí)際，以解決人們生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題為目的的風(fēng)格。其影響之深，以致以后中國(guó)數(shù)學(xué)著作大體采取兩種形式：或?yàn)橹髯ⅲ蚍缕潴w例著書(shū)；甚至西算傳入中國(guó)之后，人們著書(shū)立說(shuō)時(shí)還常常把包括西算在內(nèi)的數(shù)學(xué)知識(shí)納入九章的框架。然而，《九章算術(shù)》亦有其不容忽視的缺點(diǎn)：沒(méi)有任何數(shù)學(xué)概念的定義，也沒(méi)有給出任何推導(dǎo)和證明。魏景元四年（263年），劉徽給《九章算術(shù)》作注，才大大彌補(bǔ)了這個(gè)缺陷。

劉徽是中國(guó)數(shù)學(xué)家之一。他的生平知之甚少。據(jù)考證，他是山東鄒平人。劉徽定義了若干數(shù)學(xué)概念，全面論證了《九章算術(shù)》的公式解法，提出了許多重要的思想、方法和命題，他在數(shù)學(xué)理論方面成績(jī)斐然。

劉徽對(duì)數(shù)學(xué)概念的定義抽象而嚴(yán)謹(jǐn)。他揭示了概念的本質(zhì)，基本符合現(xiàn)代邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)對(duì)概念定義的要求。而且他使用概念時(shí)亦保持了其同一性。如他提出凡數(shù)相與者謂之率，把率定義為數(shù)量的相互關(guān)系。又如他把正負(fù)數(shù)定義為今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之，擺脫了正為余，負(fù)為欠的原始觀念，從本質(zhì)上揭示了正負(fù)數(shù)得失相反的相對(duì)關(guān)系。

《九章算術(shù)》的算法盡管抽象，但相互關(guān)系不明顯，顯得零亂。劉徽大大發(fā)展深化了中算中久已使用的率概念和齊同原理，把它們看作運(yùn)算的綱紀(jì)。許多問(wèn)題，只要找出其中的各種率關(guān)系，通過(guò)乘以散之，約以聚之，齊同以通之，都可以歸結(jié)為今有術(shù)求解。

一平面（或立體）圖形經(jīng)過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)，其面積（或體積）不變。把一個(gè)平面（或立體）圖形分解成若干部分，各部分面積（或體積）之和與原圖形面積（或體積）相等?；谶@兩條不言自明的前提的出入相補(bǔ)原理，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)進(jìn)行幾何推演和證明時(shí)最常用的原理。劉徽發(fā)展了出入相補(bǔ)原理，成功地證明了許多面積、體積以及可以化為面積、體積問(wèn)題的勾股、開(kāi)方的公式和算法的正確性。

背景介紹

《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，是“算經(jīng)十書(shū)”（漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書(shū)）中最重要的一種。魏晉時(shí)劉徽為《九章算術(shù)》作注時(shí)說(shuō):“周公制禮而有九數(shù)，九數(shù)之流則《九章》是矣”，又說(shuō)“漢北平侯張蒼、大司農(nóng)中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱(chēng)刪補(bǔ)，故校其目則與古或異，而所論多近語(yǔ)也”。

根據(jù)研究，西漢的張蒼、耿壽昌曾經(jīng)做過(guò)增補(bǔ)。最后成書(shū)最遲在東漢前期，但是其基本內(nèi)容在西漢后期已經(jīng)基本定型。

《漢書(shū)藝文志》（班固根據(jù)劉歆《七略》寫(xiě)成者）中著錄的數(shù)學(xué)書(shū)僅有《許商算術(shù)》、《杜忠算術(shù)》兩種，并無(wú)《九章算術(shù)》，可見(jiàn)《九章算術(shù)》的出現(xiàn)要晚于《七略》?！逗鬂h書(shū)馬援傳》載其侄孫馬續(xù)“博覽群書(shū)，善《九章算術(shù)》”，馬續(xù)是公元1世紀(jì)最后二、三十年時(shí)人。再根據(jù)《九章算術(shù)》中可供判定年代的官名、地名等來(lái)推斷，現(xiàn)傳本《九章算術(shù)》的成書(shū)年代大約是在公元1世紀(jì)的下半葉。九章算術(shù)將書(shū)中的所有數(shù)學(xué)問(wèn)題分為九大類(lèi)，是陳凱靖編輯的

1984年，在湖北出土了《算數(shù)書(shū)》書(shū)簡(jiǎn)。據(jù)考證，它比《九章算術(shù)》要早一個(gè)半世紀(jì)以上，書(shū)中有些內(nèi)容和《九章算術(shù)》非常相似，一些內(nèi)容的文句也基本相同。有人推測(cè)兩書(shū)具有某些繼承關(guān)系，但也有不同的看法認(rèn)為《九章算術(shù)》沒(méi)有直接受到《算數(shù)書(shū)》影響。

后世的數(shù)學(xué)家，大都是從《九章算術(shù)》開(kāi)始學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)，許多人曾為它作過(guò)注釋。其中最著名的有劉徽（263）、李淳風(fēng)（656）等人。劉、李等人的注釋和《九章算術(shù)》一起流傳至今。唐宋兩代，《九章算術(shù)》都由國(guó)家明令規(guī)定為教科書(shū)。到了北宋，《九章算術(shù)》還曾由政府進(jìn)行過(guò)刊刻（1084），這是世界上最早的印刷本數(shù)學(xué)書(shū)。在現(xiàn)傳本《九章算術(shù)》中，最早的版本乃是上述北宋本的南宋翻刻本（1213），現(xiàn)藏于上海圖書(shū)館（孤本，殘，只余前五卷）。清代戴震由《永樂(lè)大典》中抄出《九章算術(shù)》全書(shū)，并作了?？?。此后的《四庫(kù)全書(shū)》本、武英殿聚珍本、孔繼涵刻的《算經(jīng)十書(shū)》本（1773）等，大多數(shù)都是以戴校本為底本的。

作為一部世界數(shù)學(xué)名著，《九章算術(shù)》早在隋唐時(shí)期即已傳入朝鮮、日本。它已被譯成日、俄、德、法等多種文字版本。

其他信息

數(shù)學(xué)成就

《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)成就是多方面的：

（1）、在算術(shù)方面的主要成就有分?jǐn)?shù)運(yùn)算、比例問(wèn)題和“盈不足”算法。《九章算術(shù)》是世界上最早系統(tǒng)敘述了分?jǐn)?shù)運(yùn)算的著作，在第二、三、六章中有許多比例問(wèn)題，在世界上也是比較早的?！坝蛔恪钡乃惴ㄐ枰o出兩次假設(shè)，是一項(xiàng)創(chuàng)造，中世紀(jì)歐洲稱(chēng)它為“雙設(shè)法”，有人認(rèn)為它是由中國(guó)經(jīng)中世紀(jì)阿拉伯國(guó)家傳去的。

《九章算術(shù)》中有比較完整的分?jǐn)?shù)計(jì)算方法，包括四則運(yùn)算，通分、約分、化帶分?jǐn)?shù)為假分?jǐn)?shù)（我國(guó)古代稱(chēng)為通分內(nèi)子，“內(nèi)”讀為納）等等。其步驟與方法大體與現(xiàn)代的雷同。

分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算，《九章算術(shù)》已明確提出先通分，使兩分?jǐn)?shù)的分母相同，然后進(jìn)行加減。加法的步驟是“母互乘子，并以為實(shí)，母相乘為法，實(shí)如法而一”這里“實(shí)”是分子?！胺ā笔欠帜?，“實(shí)如法而一”也就是用法去除實(shí)，進(jìn)行除法運(yùn)算，《九章算術(shù)》還注意到兩點(diǎn)：其一是運(yùn)算結(jié)果如出現(xiàn)“不滿法者，以法命之”。就是分子小于分母時(shí)便以分?jǐn)?shù)形式保留。其二是“其母同者，直相從之”，就是分母相同的分?jǐn)?shù)進(jìn)行加減，運(yùn)算時(shí)不必通分，使分子直接加減即可。

《九章算術(shù)》中還有求最大公約數(shù)和約分的方法。求最大公約數(shù)的方法稱(chēng)為“更相減損”法，其具體步驟是“可半者半之，不可半者，副置分母子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約之?！边@里所說(shuō)的“等數(shù)”就是我們現(xiàn)在的最大公約數(shù)。可半者是指分子分母都是偶數(shù)，可以折半的先把它們折半，即可先約去2。不都是偶數(shù)了，則另外擺（即副置）分子分母算籌進(jìn)行計(jì)算，從大數(shù)中減去小數(shù)，輾轉(zhuǎn)相減，減到余數(shù)和減數(shù)相等，即得等數(shù)。

在《九章算術(shù)》的第二、三、六等章內(nèi)，廣泛地使用了各種比例解應(yīng)用問(wèn)題。粟米章的開(kāi)始就列舉了各種糧食間互換的比率如下：“粟米之法：粟率五十，糲米三十，粺米二十七，糳米二十四，……”這是說(shuō)：谷子五斗去皮可得糙米三斗，又可舂得九折米二斗七升，或八拆米二斗四升，……。例如，粟米章第一題：“今有粟米一斗，欲為糲米，問(wèn)得幾何”。它的解法是：“以所有數(shù)乘所求率為實(shí)，以所有率為法，實(shí)如法而一”。

《九章算術(shù)》第七章“盈不足”專(zhuān)講盈虧問(wèn)題及其解法其中第一題：“今有（人）共買(mǎi)物，（每）人出八（錢(qián)），盈（余）三錢(qián)；人出七（錢(qián)），不足四（錢(qián)），問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何”，“答曰：七人，物價(jià)53（錢(qián)）?！薄坝蛔阈g(shù)曰：置所出率，盈、不足各居其下。令維乘（即交錯(cuò)相乘）所出率，并以為實(shí)，并盈，不足為法，實(shí)如法而一……置所出率，以少減多，余，以約法、實(shí)。實(shí)為物價(jià)，法為人數(shù)”。盈不足術(shù)是中國(guó)數(shù)學(xué)史上解應(yīng)用問(wèn)題的一種別開(kāi)生面的創(chuàng)造，它在我國(guó)古代算法中占有相當(dāng)重要的地位。盈不足術(shù)還經(jīng)過(guò)絲綢之路西傳中亞阿拉伯國(guó)家，受到特別重視，被稱(chēng)為“契丹算法”，后來(lái)又傳入歐洲，中世紀(jì)時(shí)期“雙設(shè)法”曾長(zhǎng)期統(tǒng)治了他們的數(shù)學(xué)王國(guó)。

（2）、《九章算術(shù)》總結(jié)了生產(chǎn)、生活實(shí)踐中大量的幾何知識(shí)，在方田、商功和勾股章中提出了很多面積、體積的計(jì)算公式和勾股定理的應(yīng)用。

《九章算術(shù)》方田章主要論述平面圖形直線形和圓的面積計(jì)算方法?！毒耪滤阈g(shù)》方田章第一題“今有田廣十五步，從（音縱zong）十六步。問(wèn)為田幾何。”“答曰：一畝”。這里“廣”就是寬，“從”即縱，指其長(zhǎng)度，“方田術(shù)曰：廣從步數(shù)相乘得積步，（得積步就是得到乘積的平方步數(shù)）以畝法二百四十步（實(shí)質(zhì)應(yīng)為積步）除之，即畝數(shù)。百畝為一頃。”當(dāng)時(shí)稱(chēng)長(zhǎng)方形為方田或直田。稱(chēng)三角形為圭田，面積公式為“術(shù)曰：半廣以乘正從”。這里廣是指三角形的底邊，正從是指底邊上的

高，劉徽在注文中對(duì)這一計(jì)算公式實(shí)質(zhì)上作了證明：“半廣者，以盈補(bǔ)虛，為直田也?！薄耙嗫梢园胝龔囊猿藦V”（圖1－30）。盈是多余，虛乃不足。“以盈補(bǔ)虛”就是以多余部分填補(bǔ)不足的部分，這就是我國(guó)古代數(shù)學(xué)推導(dǎo)平面圖形面積公式所用的傳統(tǒng)的“出入相補(bǔ)”的方法，由上圖“以盈補(bǔ)虛”變圭田為與之等積的直田，于是得到了圭田的面積計(jì)算公式。

方田章第二十七、二十八題把直角梯形稱(chēng)為“邪田”（即斜田）它的面積公式是：“術(shù)曰：并兩邪（即兩斜，應(yīng)理解為梯形兩底）而半之，以乘正從……，又可半正從……以乘并?！眲⒒赵谧⒅姓f(shuō)明他的證法仍是“出入相補(bǔ)”法。在方田章第二十九、三十題把一般梯形稱(chēng)為“箕田”，上、下底分別稱(chēng)為“舌”、“踵”，面積公式是：“術(shù)曰：并踵舌而半之，以乘正從”。

至于圓面積，在《九章算術(shù)》方田章第三十一、三十二題中，它的面積計(jì)算公式為：“半周半徑相乘得積步”。這里“周”是圓周長(zhǎng)，“徑”是指直徑。這個(gè)圓面積計(jì)算公式是正確的。只是當(dāng)時(shí)取徑一周三（即π≈3）。于是由此計(jì)算所得的圓面積就不夠精密。

《九章算術(shù)》商功章收集的都是一些有關(guān)體積計(jì)算的問(wèn)題。但是商功章并沒(méi)有論述長(zhǎng)方體或正方體的體積算法。看來(lái)《九章算術(shù)》是在長(zhǎng)方體或正方體體積計(jì)算公式：V=abc的基礎(chǔ)上來(lái)計(jì)算其他立體圖形體積的。

《九章算術(shù)》商功章提到城、垣、堤、溝、塹、渠，因其功用不同因而名稱(chēng)各異，其實(shí)質(zhì)都是正截面為等腰梯形的直棱柱，他們的體積計(jì)算方法：“術(shù)曰：并上、下廣而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺”。這里上、下廣指橫截面的上、下底（a，b）高或深（h），袤是指城垣……的長(zhǎng)（l）。因此城、垣…的體積計(jì)算術(shù)公式V=1/2（a+b）h.

劉徽在注釋中把對(duì)于平面圖形的出入相補(bǔ)原理推廣應(yīng)用到空間圖形，成為“損廣補(bǔ)狹”以證明幾何體體積公式。

劉徽還用棋驗(yàn)法來(lái)推導(dǎo)比較復(fù)雜的幾何體體積計(jì)算公式。所謂棋驗(yàn)法，“棋”是指某些幾何體模型即用幾何體模型驗(yàn)證的方法，例如長(zhǎng)方體本身就是“棋”[圖1－32（1）]斜解一個(gè)長(zhǎng)方體，得兩個(gè)兩底面為直角三角形的直三棱柱，我國(guó)古代稱(chēng)為“塹堵”（如圖），所以塹堵的體積是長(zhǎng)方體體積的二分之一。

《九章算術(shù)》商功章還有圓錐、圓臺(tái)（古代稱(chēng)“圓亭”）的體積計(jì)算公式。甚至對(duì)三個(gè)側(cè)面是等腰梯形，其他兩面為勾股形的五面體[圖1－33（1）]，上、下底為矩形的擬

柱體（古代稱(chēng)“芻童”）以及上底為一線段，下底為一矩形的擬柱體（古代稱(chēng)“芻甍”）（“甍”音“夢(mèng)”）等都可以計(jì)算其體積。

（3）、《九章算術(shù)》中的代數(shù)內(nèi)容同樣很豐富，具有當(dāng)時(shí)世界的先進(jìn)水平。

1．開(kāi)平方和開(kāi)立方

《九章算術(shù)》中講了開(kāi)平方、開(kāi)立方的方法，而且計(jì)算步驟基本一樣。所不同的是古代用籌算進(jìn)行演算，現(xiàn)以少?gòu)V章第12題為例，說(shuō)明古代開(kāi)平方演算的步驟，“今有積五萬(wàn)五千二百二十五步。問(wèn)為方幾何”?！按鹪唬憾偃宀健薄＿@里所說(shuō)的步是我國(guó)古代的長(zhǎng)度單位。

“開(kāi)方（是指開(kāi)平方，由正方形面積求其一邊之長(zhǎng)。）術(shù)曰：置積為實(shí)（即指籌算中把被開(kāi)方數(shù)放置于第二行，稱(chēng)為實(shí)）借一算（指借用一算籌放置于最后一行，如圖1－25（1）所示用以定位）。步之（指所借的算籌一步一步移動(dòng)）超一等（指所借的算籌由個(gè)位越過(guò)十位移至百位或由百位越過(guò)千位移至萬(wàn)位等等，這與現(xiàn)代筆算開(kāi)平方中分節(jié)相當(dāng)如圖1－25（2）所示）。議所得（指議得初商，由于實(shí)的萬(wàn)位數(shù)字是5，而且22<5<32，議得初商為2，而借算在萬(wàn)位，因此應(yīng)在第一行置初商2于百位，如圖1－25（3）所示）。以一乘所借一算為法（指以初商2乘所借算一次為20000，置于“實(shí)”下為“法”，如圖1－25（4）所示）而以除（指以初商2乘“法”20000得40000，由“實(shí)”減去得：55225-40000=15225，如圖1－25（5）所示）除已，倍法為定法，其復(fù)除，折法而下（指將“法”加倍，向右移一位，得4000為“定法”因?yàn)橐笃椒礁氖粩?shù)字，需要把“借算”移至百位，如圖1－25（6）所示）。復(fù)置借算步之如初，以復(fù)議一乘之，所得副，以加定法，以除（這一段是指：要求平方根的十位數(shù)字，需置借算于百位。因“實(shí)”的千位數(shù)字為15，且4×3<15<4×4，于是再議得次商為3。置3于商的十位。以次商3乘借算得3×100=300，與定法相加為4000+300=4300。再乘以次商，則得：3×4300=12900，由“實(shí)”減去得：15225－12900=2325。如圖1－25（7）所示，以所得副從定法，復(fù)除折下如前（這一段是指演算如前，即再以300×1+4300=4600向右移一位，得460，是第三位方根的定法，再把借算移到個(gè)位，如圖1－25（8）所示；又議得三商應(yīng)為5，再置5于商的個(gè)位如圖1－25（9）所示，以5+460=465，再乘以三商5，得465×5=2325經(jīng)計(jì)算恰盡如圖1－25（10）所示，因此得平方根為235。）

上述由圖1－25（1）—（10）是按算籌進(jìn)行演算的，看起來(lái)似乎很繁瑣，實(shí)際上步驟十分清楚，易于操作。它的開(kāi)平方原理與現(xiàn)代開(kāi)平方原理相同。其中“借算”的右移、左移在現(xiàn)代的觀點(diǎn)下可以理解為一次變換和代換。《九章算術(shù)》時(shí)代并沒(méi)有理解到變換和代換，但是這對(duì)以后宋、元時(shí)期高次方程的解法是有深遠(yuǎn)影響的。

《九章算術(shù)》方程章中的“方程”是專(zhuān)指多元一次方程組而言，與“方程”的含義并不相同?！毒耪滤阈g(shù)》中多元一次方程組的解法，是將它們的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)用算籌擺成“方陣”（所以稱(chēng)之謂“方程”）。消元的過(guò)程相當(dāng)于現(xiàn)代大學(xué)課程高等代數(shù)中的線性變換。

由于《九章算術(shù)》在用直除法解一次方程組過(guò)程中，不可避免地要出現(xiàn)正負(fù)數(shù)的問(wèn)題，于是在方程章第三題中明確提出了正負(fù)術(shù)。劉徽在該術(shù)的注文里實(shí)質(zhì)上給出了正、負(fù)數(shù)的定義：“兩算得失相反，要令‘正’、‘負(fù)’以名之”。并在計(jì)算工具即算籌上加以區(qū)別“正算赤，負(fù)算黑，否則以邪正為異”。這就是規(guī)定正數(shù)用紅色算籌，負(fù)數(shù)用黑色算籌。如果只有同色算籌的話，則遇到正數(shù)將籌正放，負(fù)數(shù)時(shí)邪（同斜）放。宋代以后出現(xiàn)筆算也相應(yīng)地用紅、黑色數(shù)碼字以區(qū)別正、負(fù)數(shù)，或在個(gè)位數(shù)上記斜劃以表示負(fù)數(shù)，如（即—1824），后來(lái)這種包括負(fù)數(shù)寫(xiě)法在內(nèi)的中國(guó)數(shù)碼字還傳到日本。

關(guān)于正、負(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則，“正負(fù)術(shù)曰：同名相益，異名相除，正無(wú)入負(fù)之，負(fù)無(wú)入正之。其異名相除，同名相益，正無(wú)入正之，負(fù)無(wú)入負(fù)之”。這里所說(shuō)的“同名”、“異名”分別相當(dāng)于所說(shuō)的同號(hào)、異號(hào)。“相益”、“相除”是指二數(shù)相加、相減。術(shù)文前四句是減法運(yùn)算法則：

（1）如果被減數(shù)絕對(duì)值大于減數(shù)絕對(duì)值，即a>b≥0，

則同名相益：（±a）-（±b）=±（a-b），

異名相除：（±a）-（b）=±（a+b）。

（2）如果被減數(shù)絕對(duì)值小于減數(shù)絕對(duì)值，即b>a≥0。

①如果兩數(shù)皆正

則a-b=a-[a+（b-a）]=-（b-a）。

中間一式的a和a對(duì)消，而（b-a）無(wú)可對(duì)消，則改“正”為“負(fù)”，即“正無(wú)入負(fù)之”。“無(wú)入”就是無(wú)對(duì)，也就是無(wú)可對(duì)消（或不夠減或?qū)Ψ綖榱悖?/p>

②如果兩數(shù)皆負(fù)

則（-a）-（-b）=－a-[（-a）-（b-a）]=+（b-a）。在中間的式子里（-a）和（-a）對(duì)消，而-（b-a）無(wú)可對(duì)消，則改“負(fù)”為“正”所以說(shuō)“負(fù)無(wú)入正之”。

③如果兩數(shù)一正一負(fù)。則仍同（1）的異名相益。

術(shù)文的后四句是指正負(fù)數(shù)加法運(yùn)算法則。

（1）同號(hào)兩數(shù)相加，即同名相益，其和的絕對(duì)值等于兩數(shù)絕對(duì)值和。

如果a>0，b>0，

則a+b=a+b，（-a）+（-b）=-（a+b）

（2）異號(hào)兩數(shù)相加，實(shí)為相減，即異名相除。如果正數(shù)的絕對(duì)值較大，其和為正，即“正無(wú)入正之”。如果負(fù)數(shù)的絕對(duì)值較大，其和為負(fù)，即“負(fù)無(wú)入負(fù)之”。用符號(hào)表示為

①如果a>b≥0，

則a+（-b）=[b+（a-b）]+（-b）=a-b，

或（-a）+b=[（-b）－（a-b）]+b=-（a-b）。

②如果b>a≥0，

則a+（-b）=a+[（-a）-（b-a）]=-（b-a），

或（-a）+b=（-a）+[a+（b-a）]=b-a。

關(guān)于正負(fù)數(shù)的乘除法則，在《九章算術(shù)》時(shí)代或許會(huì)遇到有關(guān)正負(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算。可惜書(shū)中并未論及，直到元代朱世杰于《算學(xué)啟蒙》（1299年）中才有明確的記載：“同名相乘為正，異名相乘為負(fù)”，“同名相除所得為正，異名相除所得為負(fù)”，因此至遲于13世紀(jì)末我國(guó)對(duì)有理數(shù)四則運(yùn)算法則已經(jīng)全面作了總結(jié)。至于正負(fù)數(shù)概念的引入，正負(fù)數(shù)加減運(yùn)算法則的形成的歷史記錄，我國(guó)更是遙遙領(lǐng)先。國(guó)外首先承認(rèn)負(fù)數(shù)的是七世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家婆羅門(mén)岌多（約598-？）歐洲到16世紀(jì)才承認(rèn)負(fù)數(shù)。

校注歷史

現(xiàn)傳本《九章算術(shù)》成書(shū)于何時(shí)，眾說(shuō)紛紜，多數(shù)認(rèn)為在西漢末到東漢初之間，約公元一世紀(jì)前后，《九章算術(shù)》的作者不詳。很可能是在成書(shū)前一段歷史時(shí)期內(nèi)通過(guò)多人之手逐次整理、修改、補(bǔ)充而成的集體創(chuàng)作結(jié)晶。由于二千年來(lái)經(jīng)過(guò)輾轉(zhuǎn)手抄、刻印，難免會(huì)出現(xiàn)差錯(cuò)和遺漏，加上《九章算術(shù)》文字簡(jiǎn)略有些內(nèi)容不易理解，因此歷史上有過(guò)多次校正和注釋。

關(guān)于對(duì)《九章算術(shù)》所做的校注主要有：西漢張蒼增訂、刪補(bǔ)，三國(guó)時(shí)曹魏劉徽注，唐李淳風(fēng)注，南宋楊輝著《詳解九章算法》選用《九章算術(shù)》中80道典型的題作過(guò)詳解并分類(lèi)，清李潢（？—1811年）所著《九章算術(shù)細(xì)草圖說(shuō)》對(duì)《九章算術(shù)》進(jìn)行了校訂、列算草、補(bǔ)插圖、加說(shuō)明，尤其是圖文并茂之作。

現(xiàn)代錢(qián)寶琮（1892—1974年）曾對(duì)包括《九章算術(shù)》在內(nèi)的《算經(jīng)十書(shū)》進(jìn)行了校點(diǎn)，用通俗語(yǔ)言、近代數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)對(duì)《九章算術(shù)》及劉、李注文詳加注釋。80年代以來(lái)，今人白尚恕、郭書(shū)春、李繼閔等都有校注本出版。

歷史影響

《九章算術(shù)》是世界上最早系統(tǒng)敘述了分?jǐn)?shù)運(yùn)算的著作；其中盈不足的算法更是一項(xiàng)令人驚奇的創(chuàng)造；“方程”章還在世界數(shù)學(xué)史上首次闡述了負(fù)數(shù)及其加減運(yùn)算法則。在代數(shù)方面，《九章算術(shù)》在世界數(shù)學(xué)史上最早提出負(fù)數(shù)概念及正負(fù)數(shù)加減法法則；中學(xué)講授的線性方程組的解法和《九章算術(shù)》介紹的方法大體相同。注重實(shí)際應(yīng)用是《九章算術(shù)》的一個(gè)顯著特點(diǎn)。該書(shū)的一些知識(shí)還傳播至印度和阿拉伯，甚至經(jīng)過(guò)這些地區(qū)遠(yuǎn)至歐洲。

《九章算術(shù)》是幾代人共同勞動(dòng)的結(jié)晶，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成．后世的數(shù)學(xué)家，大都是從《九章算術(shù)》開(kāi)始學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)知識(shí)的。唐宋兩代都由國(guó)家明令規(guī)定為教科書(shū)。1084年由當(dāng)時(shí)的北宋朝廷進(jìn)行刊刻，這是世界上最早的印刷本數(shù)學(xué)書(shū)?？梢哉f(shuō)，《九章算術(shù)》是中國(guó)為數(shù)學(xué)發(fā)展做出的又一杰出貢獻(xiàn)。

在九章算術(shù)中有許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都是世界上記載最早的。例如，關(guān)于比例算法的問(wèn)題，它和后來(lái)在16世紀(jì)西歐出現(xiàn)的三分律的算法一樣。關(guān)于雙設(shè)法的問(wèn)題，在阿拉伯曾稱(chēng)為契丹算法，13世紀(jì)以后的歐洲數(shù)學(xué)著作中也有如此稱(chēng)呼的，這也是中國(guó)古代數(shù)學(xué)知識(shí)向西方傳播的一個(gè)證據(jù)。

《九章算術(shù)》對(duì)中國(guó)古代的數(shù)學(xué)發(fā)展有很大影響，這種影響一直持續(xù)到了清朝中葉。《九章算術(shù)》的敘述方式以歸納為主，先給出若干例題，再給出解法，不同于西方以演繹為主的敘述方式，中國(guó)后來(lái)的數(shù)學(xué)著作也都是采用敘述方式為主。歷代數(shù)學(xué)家有不少人曾經(jīng)注釋過(guò)這本書(shū)，其中以劉徽和李淳風(fēng)的注釋最有名。

《九章算術(shù)》還流傳到了日本和朝鮮，對(duì)其古代的數(shù)學(xué)發(fā)展也產(chǎn)生了很大的影響。

2020年4月，列入《教育部基礎(chǔ)教育課程教材發(fā)展中心中小學(xué)生閱讀指導(dǎo)目錄（2020年版）》初中段。